Basic Definitions

鉴于今天事情比较多，就偷个懒少写一点点吧。。。

需要注意的是这里表示的定义是普适的。无论是群还是后面的李群，都是定义为到一个线性空间上的变换的同态。

定义好了表示之后，我们需要对它们分类，这个分类不同地方有些差异，如果发现不太对劲的话。。我也没什么办法。 需要说明的几点： 定义1中的G-不变子空间也可以叫做子表示，或是不变子表示。不可约是指V没有不平凡的子表示。完全可约是指对任意一个子表示，都存在它的补表示（直和项以及是子表示）。注意：不可约也是完全可约。不可约的“对立”是所谓“可分表示”（decomposable representation） 定义为： 若V=能写成两个不变子空间的直和，就称为可分。还有一些非常容易证明的性质：若φ\varphi 与一个不可约（可分，完全可约）表示等价，则φ\varphi

也不可约（可分，完全可约）。

之后我们就遇到了第一个有趣的定理，它刻画了一个有限群的表示。

第一个定理是显然的，只要取子空间一直分解下去，由于维度有限，分解也有限。

第二个定理【Maschke】的证明如下

（手写太丑勿喷啦）

这是一个比较平常的证明，也比较容易理解。

以下给出一个我认为比较有趣的证明，来自《有限群的表示论》 B.斯坦博格 (Benjamin Steinberg)【摘要 书评 试读】图书

虽然这个证明是针对实数、复数域的，而且比较复杂，但是它巧妙的引入了内积空间、酉表示的概念，可以说是非常有意思了：（证明并不困难，可以放心食用）

啊好了我要去打乒乓球了，今天就到这里吧（满足于一个定义一个定理的战五渣），下次我们来讨论一下阿贝尔群的表示。我们将会看到阿贝尔群的表示性质比较优良，容易把握。

溜了溜了