如何理解傅里叶变换公式？
写这篇文章之前自己其实一直想写傅里叶变换的文章，但是囿于知识水平和文笔有限，一直不敢动笔。在查阅相关文章、资料时发现了知乎里的这个提问和回答，尤其是【陈二喜】同学的回答展现出了超凡才华，可是很遗憾，喜哥的文章没有更完，账号也注销了。
因此，我斗胆仿照喜哥这个文风写下去，希望能更新完，以下是原文。
什么是傅里叶分析（上）——时间的朋友
每个人都有不同的频率
我们被挑选着来到这个世界
混沌、相遇与别离
时间像一条蜿蜒的河
回忆在其中流淌
倒映出斑斓的画面
那些可爱的人影，若隐若现
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那个时候，我们经历完高中三年昏天暗地的学习以及高考的淬炼，从祖国的四面八方来到这里，开启了我们奋进又浑噩的大学生活。我认识了一帮聪明而愚笨、正经却又洒脱的良师益友。
洋仔来自湖南湘西，一个传说中诞生了赶尸、蛊毒和落花洞女“三邪”的地方。据洋仔后来不经意间提到，在他们那里，每年清明前后都会举行赶尸、放蛊技能大赛。而他因为个人技能突出每年都会被选为他们寨子的代表，用他的话来说，没有他，他们寨就会输。
洋仔是属于那种别人批评他，还没开始，他就会自己贬低自己，把自己贬得一无是处，直到别人也感觉不好意思，于是批评的话经常就变成赞美了。所以洋仔总是很乐呵，他的脸上经常挂满了诚恳而舒坦的笑容。
洋仔是我们中读书最多的。在我们通宵打游戏、亦或是趴在窗口用廉价单筒望远镜偷看对面女生宿舍的时候，洋仔总是蜷在他自己的世界里，端着一个老旧的功能手机有滋有味地阅读起来。洋仔最喜欢金庸的武侠小说，每次当他读完《笑傲江湖》后都会躺在床上呢喃：江湖本身就是一个无奈，谈何笑傲呢？一曲天籁，诉不尽这淡淡忧伤，也奏不完这世态炎凉。
洋仔时不时会给我们宣贯叔本华的哲学思想，他总是说，人生的根本状态是没有目的和意义的，只不过是在痛苦和无聊之间的摇摆。所以我们智慧的人生不是追求幸福，而是放弃欲望从而减少痛苦。而要做到这一点，要么就是彻底放弃自我、否定自己的意志。要么退一步，通过提高对音乐、艺术等的审美体验来间接的、偶尔的获得内心片刻的安宁。
坦白说，我有时候会惊诧于他与我们一般年纪却能看得这般通透，但有时候又对他这种论调嗤之以鼻。我总是会在心里下意识的批判，这不就是在给自己的慵懒、退缩找理由嘛，所谓明明庸碌无为却仍然高呼平凡可贵，跟历史虚无主义有什么区别嘛。
一天晚上，宿舍熄灯后我们又例行开始了“寝谈”，想必大家都有体会，大学“寝谈”的内容无所不包。从班上哪个女同学最漂亮和谁又有暧昧到詹姆斯和科比谁更厉害谁是现役第一，再到中东这个蛋疼的地方为什么这么蛋疼，以及弦论究竟能不能成为宇宙的大一统理论等等，只要思维所及之处，都可以成为我们高谈阔论、舌灿莲花的话题。洋仔对我们说，我给你们讲个故事吧。
话说清末民初年间，北平海淀区火器营村有一大户人家，户主名叫松老三，靠着和官府勾结卖鸦片烟敛了大笔不义之财。松老三有个女儿乳名小芽，长到十五六岁的时候，可谓是亭亭玉立。用《诗经》里的话说就是“手如柔荑，肤如凝脂，领如蝤蛴，齿如瓠犀，螓首蛾眉，巧笑倩兮，美目盼兮”。翻译过来就是，肤白貌美大长腿，丰乳肥臀水蛇腰，明眸皓齿小酒窝，回眸一笑——真叫个人见人爱花见花开鬼见鬼痴呆。正是这样的可人儿，眼见着到了适婚年龄，说媒的人在松老三家里踏破了门槛。
松老三看着管家递上来的求亲名单，眯着双眼嘬着水烟心里琢磨着怎样给小芽觅得一金龟婿，思索良久，松老三心生一计。他叫管家召集了求亲的100位男青年，道：今日召集诸位欲给小女觅得一如意郎君，不求你貌似潘安、形比卫玠，但愿你能情比金坚、相敬如宾。言下之意就是帅不帅不重要，重要的是只要你对待感情忠诚、能够对小芽好就可以了。语毕，大堂里61位男青年热烈鼓掌，拍手叫好。松老三见状，森森然吩咐管家把这61人的名字划掉了。
松老三又道：我松老三嫁女，无需你良田万顷、豪邸数间，但求你能与小芽同甘共苦、携手并进。意思是说有没有房子不重要，重要的是能够一起相濡以沫、共同打拼就好。话音未落，大堂里28位男青年兴奋至极，恨不得冲上去给未来的老丈人竖个大拇指点个赞。管家识体，继续划掉了这28人的名字。
最后松老三又说：欲与小芽喜结良缘，不求闻达于名门望族，但求腹有经纶，能与小女吟诗作赋、共议书画。这就是说，当不当官、家里有没有关系不重要，重要的是只要有知识、能当得上小芽的灵魂伴侣就行。言毕，大堂里有8位男青年再次翘首企盼起来，松老三再次划掉了这8人的名字。
最终，经过这番操作之后，最开始求亲的那100位男青年，就变成了：61位丑比+28位穷比+8位苦比+3位帅气多金有势的baby。松老三于是急匆匆将小芽从闺房里叫出来，让她和最后这3位男青年来一轮face to face的pick。
听到这里，我们不禁暗暗佩服洋仔的博闻强识，在熄灯后的宿舍里，我们的嘴角隐约都泛起了贱笑，贱兮兮的。我们同时不得不佩服松老三的高明，经过他这一番操作之后，在一团乱糟糟的对象中，轻易就挑选出了自己想要的，如下图。
后来在高数课堂和信号与系统课堂上，我们幡然大悟原来这就可以理解为是傅里叶分析的雏形了，科学的叫法是“滤波”，我们再次被松老三的奇技淫巧所折服。
其实故事到这里还没完，洋仔接着说道，小芽经过一番pick之后其实并没有选择最后剩下的3位男青年中的任何一个，而是后来一次偶然的机会邂逅了村口的木匠青年佟小六，并对其心生情愫，两人暗通款曲偷偷幽会起来。那是一个初夏的傍晚，两人再次相约在西郊的清水河畔，虽然树丫早已长出新芽，北平城的郊野仍然略显荒凉。佟小六赶到时发现小芽已经在河畔踟蹰徘徊良久，夕阳下的小芽更显娇艳动人。佟小六刻意放缓脚步开始吟诵起来：静女其姝，俟我于城隅。爱而不见，搔首踟蹰。静女其娈，贻我彤管。彤管有炜，说怿女美。
正当两人依偎在一起你侬我侬时，勃然大怒的松老三不知从哪里冒了出来，认为小芽偷偷和别人幽会是辱没祖宗、败坏门庭，更何况对方还是这么一个名不见经传的穷小子。松老三硬生生将小芽拖回去之后用皮鞭把她打得皮开肉绽。小芽被逼无奈，内心屈辱难忍，一狠心就跳了清水河。佟小六听说小芽已经跳河走了，他带着烧纸来到清水河畔，在一个凄风苦雨的夜晚，祭奠完他的小芽妹妹后也跟着跳了河。
为纪念这个爱情故事，洋仔说，后来有人编成了小曲到处传唱，这就是《探清水河》。
（这里本来是有《探清水河》的音乐链接……知乎无法插入，蛋疼）
听完这个故事后，我们唏嘘不已，我们敬佩两人对爱情的坚贞和矢志不渝，也对小芽为何爱上佟小六心生疑惑。他无财无权无势，长相平平，但在那些男青年中，俘获小芽芳心的偏偏就只有他。
也许只是因为确认过一个眼神吧，又或许是因为气场相配缘分相投，两人的一颦一蹙，在彼此眼里就是最美的画符——也有可能没有原因，因为这就是爱情。铺位靠近宿舍门口的王二狗这么总结道，所以从这个方面说，他们两个其实是幸运的，他们很幸运能遇到对方。要知道这个世上有多少痴男怨女，他们寻寻觅觅终其一生，都无法遇到唯一的彼此。即便结合在一起，又有多少能坚定地携手走完这一生呢？
但是无论如何，要我说，老子最烦这种穷酸读书人了。躺在宿舍里侧的大兵哥补充道，这个什么佟小六，他就应该在幽会的时候速速的将生米煮成熟饭。这样一来，松老三气归气，说不定最终就不会这么棒打鸳鸯了，可关键时刻这家伙还在那里掉书袋，满嘴之乎者也的大傻叉，该！
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大兵哥来自江浙一带，那里的女孩温婉绰约、恬静动人。而大兵哥好像也没有一般意义上江浙男人的特点。他皮肤黝黑、一张国字脸，结实精干、全身肌肉若隐若现。他双目迥然有神、说话铿锵有力，打篮球时也必定是投入全部气力，抱着争夺每一球每一分的态度。他总是给人一种精力无限、下一刻就可以干翻这个世界的感觉。
大兵哥的QQ签名是“没有耕坏的地，只有累死的牛”。当时我们中的大部分并不知道这话到底是什么意思，我们都以为是大兵哥家里有很多很多的地，多到春耕秋收时要累死很多很多的牛。直到有一天，我暗戳戳百度了之后才隐隐明白了个大概；再到后来，当我见过更多的故事之后，才体会到这句话的深刻内涵，并不由得再次对大兵哥的超前觉悟感到由衷的佩服。
大兵哥经常捧着一本厚厚的《资治通鉴》去图书馆，偶尔还会拎着曼昆的《宏观经济学》。在宿舍里他喜欢挺着胸脯义正言辞地跟我们说要“为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平”。除此之外，大兵哥还喜欢韩寒，他的书桌上常年摆放着几本小说《三重门》《一座城池》《他的国》等等，并总是自诩为书里的男一号。有时为了模仿书中的男主角他偶尔还会刻意疯狂、放诞不羁。他时不时会跟我们提及书里的一些话，比如“每个女人总能在别人心底留下一些东西”，“而我却一直不能想明白什么能带给我们安全感……你这个傻比，当然是安全套能带给我们安全感啦……”
大兵哥思维敏捷，对这个世界往往有独到的见解，可以说，我从他那里学到了很多解构问题、剖析事物本质的方法，可是唯独有一个事情我和他的看法大相径庭。那时候不到20岁的大兵哥认为，在一切两性结合中，那些以爱情为基础的婚姻是最令人沮丧的，因为婚姻的目的不是愉悦个人，而只是延续物种的本能罢了。
我跟他说你只看到了人类这个本能所带来的结果，然而你并没有领略到这个本能给人类带来的欢愉和进步。当两颗相爱的心彼此依偎在一起，产生的力量足以战胜世间任何艰难险阻，是的，世间任何艰难险阻。古往今来有多少不朽的文学杰作是颂扬爱情的欢喜、爱情的忧愁，这一切，早已超越了自然界其他生物两性繁殖延续后代的本能。
可是你要知道，大兵哥又说，当一方在寻找配偶时，总会挑选那些能够弥补自身缺陷的异性，因为他们害怕自己的缺陷遗传给后代。所以爱情只是大自然设下的骗局，而在婚姻中，爱情会慢慢消逝，人类对爱情的幻想也会随之烟消云散。只有哲学家才能在婚姻中感到快乐，但哲学家是不结婚的。何况，你必须要承认，当一个女人过了最适合生育年龄之后，她对异性的吸引力也会随之减弱，所以说一切情愿供养妻子的男人都是傻瓜，女人只是文明的附属品……
你这太扯了，我愤愤的说道，在我看来，女人不仅不是附属品，相反还是一件艺术品，我们应该报以纯净、虔诚的目光去看待，我们最好以一种发现、欣赏和爱护的心态去靠近去追求这样的艺术品。因为很显然，正是你眼中的文明的附属品，才辛苦将你带到这个世界上来……
可是被带到这世上有什么好，人生而痛苦！大兵哥略显激动地回了一句，我看到他嘴角似乎抽搐了一下，于是这个话题我们不欢而散。
其实大家应该都知道，大学里我们来自五湖四海，我们有着截然不同的人生阅历，因为一场高考的筛选聚集在一起，混沌一片。我们明白对一件事情往往都会有自己的观点，由此带来的争论总是难以避免。因此这之后我和大兵哥还是厮混在一起，一起打球，一起吹着口哨轻佻而又尊重地欣赏着过往的女孩。有时我会帮大家带份早饭，有时大兵哥又会踩着点去教室帮我们签个到。
我们基本很少去上课，因为大学里大部分老师都只会照本宣科，对着一套不知道用了多少年的屁屁踢从头念到尾。而大学的教材呢，很多的知识点也经常写得不清不楚，概念和过程都极其模糊，我有时甚至怀疑编写教材的作者自己是不是压根也没弄懂，他们著书立说也许只是为了让自己的履历变得稍微好看一点，要不然为什么他们总是能把一个原本简简单单可可爱爱的公式描述得如此讳莫如深呢？
一天中午大兵哥从外面兴致勃勃的冲回宿舍，手里拎着一堆七七八八的电容、天线和三极管等小零件，说是信号与系统课的老师布置了个作业，以寝室为单位自己做个可以使用的收音机。做好以后可以不用再去上课，期末GPA绩点会给我们想要的分数。我们兴奋至极，心想这还不简单吗。我们经常听广播里说FM96.6兆赫、AM927千赫，这下终于轮到我们大显身手了。
我们清楚地知道，无线电广播在传输信号时必须频率足够大才能够进行有效传输，比如广播频率多数是几百千赫兹到几百兆赫兹，中央人民广播电台经济之声的频率是FM96.6MHz，它表示每秒钟电磁波会有九千六百六十万个周期。但是我们说话的声波频率低的多，一般来说只有几百赫兹到一两千赫兹。因此如果要把漂亮女主播说的话变为电台无线电信号就涉及到一个概念：调制——就好像寄快递一样，我们首先得把包含了有用信息的低频信号与可以远距离传输的高频信号一起打包在一起，如下。
接下来我们利用一个电容和一个电感构成一个LC回路，这个LC回路形成一个振荡器可以为我们产生振荡的电磁场，电磁场通过电磁感应再借助天线向外发射已经调制好的广播信号，如下左图。
当广播信号到达收音机后，因为收音机上也有天线，无线电信号遇到天线就会在上面激发起同样规律的感应电流，如上右图。因为收音机里由电容电感组成的LC回路也存在固有频率，因此如果这个频率与空间中的无线电频率相同，就会产生电磁共振，此时天线上的感应电流最大。
如果我们想收听FM96.6，就把收音机的固有频率调整到96.6MHz，此时电路中受到电台经济之声引起的感应电流最大。而其他电台信号虽然也在电路中有感应电流，但是由于没有共振，所以电流很小。调整收音机固有频率的过程其实就是在调整收音机中的电容大小，这个过程称为调谐，也就是我们通常所说的搜台或者换台。
当然调谐之后还不够，因为调谐之后的信号是低频信号和高频信号混合在一起的一个“快递”，我们还要拆开高频信号这个“包装”或者载体，将包含女主播声音信号的低频信号分离过滤出来，这个过程就是解调，而这个分离过程需要用到的就是由一些二极管组成的检波器或者说是解调器。
检波器把高频信号过滤掉，余下低频信号，再把这个信号经过放大，通入喇叭。喇叭中的线圈在磁铁对电流作用力下前后振动，带动发声的膜片，于是我们就可以收听到广播的声音了。
在以上过程中，调谐和解调两个过程可以说最为重要，简单来说调谐就是在混合了所有电台信息的电波中挑选过滤出我们想要的高电台频率，比如经济之声的96.6MHz；而解调则是进一步将包含了有用声音信号的低频率电波从高频信号中检出来。
这个频率被挑选过滤的过程如下图所示。空中杂乱无章包含很多电台信号的电磁波经过调谐后可能只包含几个简单的正弦或余弦波，频率FM96.6的信号也属于其中的一个。将这些正弦波的频率作为横坐标，振荡的幅值大小作为纵坐标，就可以画出原本叠加在一起的几个信号的所谓“频域图”。经过这么一番操作之后，本身乱哄哄毫无规律的时域信号就被整整齐齐的表示在频域图里了。而这个频率挑选过滤的操作，蕴含的数学原理即为傅里叶变换。
当我们几个把收音机捣腾出来后，除了收听到了中央人民广播电台经济之声外，意外还收到了一个“××之声”的反动电台。也不知道是不是因为我们做出来的收音机性能太过优异还是什么原因，总之我们经常能收听到一些诸如……之类的反动节目。
（被和谐……）
3
狗哥祖籍新疆，三岁时跟随父母南下广东下海淘金，借着时代的洪流和勤恳的打拼，狗哥的父母很快就积攒到了几辈子也花不完的钱。千禧年前后，狗哥父母又举家迁到了内蒙古呼伦贝尔大草原，在那里他们又承包了大片优质的天然牧场，据说现在的蒙牛乳业和狗哥家族还有一些道不尽的渊源。接下来的几年里，狗哥又跟着家里的大姐去东三省做鹿茸和人参生意，跟着二姐去浙江舟山一带倒腾水产养殖生意。他们甚至还在福建平潭建立过一支近海运输船队，排水量五千多吨的散货船满载钢筋、鹅卵石缓缓漂行在距离海岸线五十海里的地方，远方的灯塔一闪一闪的给他们指引着归途。
所以狗哥在我们几个中眼界最广，涉猎也最为丰富。他的足迹遍布祖国的大江南北，但即便如此，狗哥仍然总是很忧郁。那时候有部电视剧《士兵突击》引起万人空巷，但是很少有人知道这部电视剧的编剧兰小龙还有一部同样经典的小说和电视剧叫《我的团长我的团》。狗哥很喜欢小说里的孟烦了，他说烦了烦了，烦恼了却。他也会偶尔念叨起书中孟烦了的父亲经常说的一句话：偌大的中国啊，却容不下一张安静的书桌。狗哥还将书里死啦死啦的一句话奉为圭臬：英国鬼说他们死于狭隘和傲慢，中国鬼说他们死于听天由命和漫不经心……你们死都不怕，就怕不安逸；命都不要，就要安逸。
我后来问狗哥为什么家缠万贯还总是那么焦虑，狗哥说可能和他从小跟着父母走南闯北有关。因为小时候总是飘泊在外，做生意的父母对他反而管控很严，要求也很高，容不得犯一点错。虽然去过很多地方，但其实很多时候他都没办法去想去的地方，也没办法做想做的事情，在他的内心深处其实特别缺乏归属感和安全感。用他的话来说他是一个灵魂被压抑的旅人，他的梦想是自由与远方。高考之后之所以会选择华中地区的高校，也是希望能够离家人远一点。
不过虽然灵魂被压抑，狗哥很早就在托福考试中考得了高分，他也能写一手漂亮的毛笔字，他经常会创作并抄写几句诗然后认真地朗诵给我们听。比如“爱情那么短/回忆却那么长”，“你的眼里填满了星河/当我满怀期待地奔向你/你却借着黄昏隐没/你总是如此”，再比如“孤独的旅人啊/我还要远走/你还会想着我吗/请在我额上轻轻一吻/吻干我眼中孤冷的清泪/忘了吧，忘了我吧/远方的姑娘”。所以说，狗哥其实是一位忧郁的诗人，他经常能吟得一手好诗。我总是认为，“惟楚有才，于斯为盛”用在狗哥身上最为合适。
脱离了父母的管束之后，狗哥经常会将头发留长，或者梳一个大背头，打扮成一个大人的模样。当我们几个围在一起捧着一个老式MP4观看岛国爱情动作片学习一些奇奇怪怪的知识点的时候，狗哥则一般会扛着他的单反相机穿梭在东九楼和醉晚亭之间——他的电动车后座上永远都坐着不同的美丽的女孩。
狗哥的乒乓球技术也已经练得出神入化，后来有一次他居然还获得了某房地产公司举办的首届华中地区羽球争霸赛业余组男子单打第一名。我时常会想，狗哥啊狗哥，你这灵魂到底是被压抑了还是被升华了。如果这都叫作灵魂被压抑的话，那我们的灵魂早已灰飞烟灭啦。
狗哥是个爱热闹也很仗义的人，当他拿到一大笔比赛奖金之后就请我们去享受了一顿饕餮大餐。在这之前，其实我们大家的日子都过得紧巴巴的，狗哥虽然家里有钱，但自从读大学之后就不向家里伸手了。当时那笔奖金有多大呢，大到多年以后我们要加班加点工作很长很长时间才抵得上。狗哥总是说他很后悔当时赢得了那笔奖金，因为这让他误以为赚钱是件很容易的事情，不过这已经是后话了。
我们就着丰美鲜嫩的小龙虾，尽情地喝着啤酒。我们肆意地插科打诨，我们挥霍着青春，释放着蓬勃而又多余的荷尔蒙。那时候的我们都很穷，可我们却很快乐。我们年轻气盛热血沸腾，我们对这个世界有自己的看法，我们热衷于表达自己的观点。我们嬉闹，我们嘶吼，我们哭泣，我们热泪盈眶，我们身处果壳之中，仍自以为是无限宇宙之王。
一天晚上狗哥略带悲伤的跟我们说他深深地爱上了一个俄罗斯女孩。每天中午十二点女孩都会准时到喻园餐厅挑一个靠窗的位置静静地坐下，温和的暖阳映衬出她略显苍白的脸庞，接着她会点三个小笼包慢慢品尝起来。她总是戴着一副白色的入耳式蓝牙耳机，狗哥说她好像一直沉浸在音乐的世界里，他好几次尝试以不同的姿势出现在她面前想跟她搭上话，可是都失败了。狗哥说他觉得很挫败，觉得自己一无是处。我们几个只好陪以讪笑，很难说这是感同身受还是幸灾乐祸，毕竟才华出众的狗哥上周还约了一个埃及女孩去吃了牛蛙……
我心里只是很感慨，爱情果然让人变得卑微。爱情让人失落、让人感伤，爱情也令人心怀欢喜、充满期待；爱情是那些午后的慢时光，阳光洒在她的脸上，而他，在痴痴的看着她。
我问狗哥是不是真的爱上她了，狗哥肯定的点点头，我愠怒的跟狗哥说那你倒是上啊。狗哥垂头丧气耷拉着耳朵像个做错了事的小孩，嘴里嘟哝着，我好像配不上她呢，我应该怎么做呀？我用脚尖点点被压在椅子脚下的宣传单，上面赫然印着“音为爱·梦承载校园歌手大赛招募令”。狗哥满脸狐疑：你要我去参加这个？也许你可以试试，我说，她不是一直沉浸在音乐的世界里吗？也许你可以用这个叩开她内心世界的大门。可是我不会唱歌，狗哥落寞地说。不一定，我说，你嗓音其实很好，而且音域也广，加上你在广东待过……或许你可以试着唱首粤语歌，让来自北国的她进一步领略一下异域的岭南风情。狗哥立马从他新潮的iPhone 4的音乐播放器里挑出了一首播放次数最多的粤语歌《爱的故事·上集》跟着哼了起来。我跟狗哥说唱出来听听，我来给你找段伴奏。
(这里其实也有段音频……)
你们知道的，当狗哥唱出这一段后我立刻就后悔给他出了这个主意，我的心灵受到了一万点暴击，从我自己的感官来讲——真的是唱得太好听了——要天天和这样一个家财万贯、见多识广、举止有度、干啥啥第一的天纵英才待在一起——你们能体会这种绝望吗？
我把狗哥唱的这段《爱的故事·上集》铺在了纸上。下面第一个图是唱出来的原始信号，纵坐标是声压大小，可以理解为这段声音原始信号的振动波幅值，横坐标是时间变化，该图即为时域图。这段声音信号本质上可过滤分解为无数多个正弦或余弦的振动信号，它们有不同的频率，可以通过（快速）傅里叶变换将这些信号单独拎出来，以频率为横坐标，画在下面第二个图中，即为频域图。第三个图则是以颜色的深浅表示信号振动的幅值大小，称之为时频图，因为它的坐标同时包含了时间和频率。
这首歌好听在哪里？在上面第二个图中，如果从低频率开始标记频率谱中的峰值，也就是突出的部分，可以得到如下表所示的7个频率值，以竖列的数值除以横排的数值，结果填在表格中。可以看到表中标绿的6个结果接近于整数——这意味着这段声音不同频率之间产生了非常完美的共鸣关系，即一种以某些频率的波为基准，其他频率的波完整的包含了这些基准波频率的整数倍的状态。一般来讲，一个优秀的歌者，贯通身体的各个共鸣腔体，如口腔共鸣、鼻腔共鸣、胸腔共鸣等以产生和谐的共鸣是必须要掌握的基本技巧。
除此之外，上面表格中标蓝的结果表明这段声音中592Hz&786Hz、692Hz&885Hz及786Hz&1042Hz的频率存在3个3：4的比例关系，从音阶的角度来讲，这个比值意味着声音中存在“哆（C1）-嗦（G1）-哆（C2）”的关系，即以一个元音为基础，可以发出很悦耳的和音。也就是说，这是一个完美的嗓音唱出来的一段完美音乐。
我有点无精打采，悻悻地对狗哥说，用这首歌去参赛，你会赢。后来的结果我们都知道了，狗哥获得了那届“音为爱·梦承载”校园歌手大赛的第二名。而那个俄罗斯女孩，从狗哥的第二场比赛开始就一直以应援团团长的身份为狗哥打call。后来他们共谱了一曲爱的乐章，再后来，他们曲终人散。
那届大赛决赛靠东南角的观众席上，有一个姑娘叫阿紫。后来我问阿紫，狗哥在台上那么玉树临风、英姿飒爽，你怎么没有心动呀。阿紫回答说，他粤语歌唱得那么好，梳个大背头，我以为他是广东人，我看网上有人说广东人喜欢吃福建人，嘤嘤嘤……
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像阿紫那样的姑娘，我只见过两个，第一个是在梦中。
那天无意中看见阿紫是在大赛快要结束的时候——阿紫安静地坐在那里，穿着一件白色九分袖无领亚麻衬衣，袖口整齐地挽在手肘上部，衬衣衣角错落有致地别在腰间。搭配一条深灰中腰珍珠百褶两层纱半身裙，裙长隐约没过她的脚踝。她的脚上穿着一双平底低帮豆豆鞋，鞋子正面精致的系着两朵蝴蝶结。她的左手手腕处戴着一条红色的手绳，手绳正中间编织有一只活泼的小猫。一个带有手工刺绣点缀着若干亮黑色珍珠的靛蓝色发绳将她的头发盘起来，左边额角的一小束头发却又恰到好处的洒下来。
阿紫的皮肤很白，她的眼睛大大的，上睫毛长长的，这让她眨眼的时候显得更加灵动。阿紫笑起来的时候两个小酒窝就像平静的贝加尔湖面上泛起的两朵浅浅的涟漪，荡漾在我的记忆里久久无法平息。阿紫有一只樱桃小嘴，她托着下巴的样子像极了《天下第一》里的柳生雪姬。很快我就发现，阿紫不仅面容与雪姬相似，她几乎和雪姬一样聪慧过人，琴棋书画样样精通。那时候王菲在春晚上将一首《传奇》唱得大红大紫，因为阿紫，我瞬间就想到了那句歌词：只是因为在人群中多看了你一眼，再也没能忘掉你容颜。
那天其实刚刚下过雨，天气凉爽、空气清甜，半空中还弯着一轮光彩明艳的彩虹。可我却分明感觉到自己耳根发烫、嗓子发干，我能清晰地听到自己的心跳声。我的思维好像已被凝固，周围的一切仿佛全部安静下来。我意识到自己的身体有一种酥麻乏力的感觉，就像是被一股电流击中。我的大脑一片空白，那个瞬间犹如一千年那样永恒，我呆呆定在那里，一时手足无措。我希望时光可以静止，这样阿紫就可以永远在我眼前停留；可我又希望时间可以快点流逝，这样我就不用忍受这么近却又那么远的煎熬。我被一种模糊而强烈的潜意识牵引着往阿紫的方向缓缓移动，就像是一只爬行的蜗牛，笨拙又倔强。
我来到阿紫身边的时候，正好轮到狗哥上台，狗哥是作为男主角压轴登场的——这意味着，留给我的时间不多了。阿紫似乎并没有察觉到我的到来，她依旧托着下巴看着台上的表演，我也只得假装若无其事的看着台上的狗哥。我被阿紫身上散发出来的香味包裹着，那种异乎寻常的清香与温和舔舐着我的嗅觉细胞，多少安抚了一些我的心神不宁。那个时候我的眼神一定是空洞的，我在急速思考着应该怎么和阿紫打个招呼，我在心里默念了无数种台词。
嘿，你……你知道彩虹是怎么形成的吗？我几乎脱口而出，却又显得结结巴巴。
阿紫微微侧过身，我看到她脸色微红，她先是错愕了两秒，随即莞尔一笑：怎么形成的呀？
语若流莺声似燕，燕语莺声怎画成。阿紫说完这六个字后，首先浮现在我脑海里的是这句词，阿紫的声音宛如空谷幽兰酥软人心。
我不由得舔舔嘴唇：彩虹实际上是太阳光的一种色散现象——色散你应该知道是什么意思吧？
阿紫抿着嘴，嘴角微微上扬地点了点头。
我轻轻舒了口气：太阳光俗称白光，虽然看起来没有颜色，但实际上里面包含了无数种颜色的光，之所以颜色各异是因为这些光的频率都是互不相同的。下雨后空气中存在大量的小水珠，水珠对光有色散作用，类似于一个三菱镜。就是说不同频率的光在穿过水珠时会沿着不同的路径折射出来，于是太阳光里面的五颜六色的光就被一层层的有秩序的挑选分离出来啦，这个过程相当于做了一次傅里叶变换——关于傅里叶变换，可能需要更多的时间才能讲清……同时呢，为了简便和考虑到我们眼睛的分辨能力，我们一般只说彩虹的颜色是红橙黄绿蓝靛紫。
嗯呐，阿紫欢快地说，可是为什么红光是在最上面诶？因为红光在水珠中的折射率最小，紫光的折射率最大。我用手在阿紫面前比划起来，所以红光穿过水珠时往下偏转的角度最小，于是它就在最上面啦。
好美好神奇呀，阿紫说，其实我特别喜欢对着彩虹发呆，还有我好喜欢周杰伦的那首《彩虹》哦……咦，你就是来跟我说这个的嘛。
我突然再次变得局促起来——不是啦，那个……周杰伦的《花海》也很好听……诶，不是……我暗暗吸了口气，随即掏出手机，对阿紫说道：我可以留下你的号码吗？
阿紫面色红润低头不语，她从我微微发抖的手里接过我的手机拨通了她的电话，她的铃声响起的那一刻，狗哥的演唱恰好到了副歌部分：
知不知对你牵上万缕爱意
每晚也痛心空费尽心思
这小子欲断难断这故事
全为爱上了你偏偏你不知
知不知每晚想你十次百次
每晚也去等因我极心痴
可不可合力延续这故事
延续这片爱意一生俩相依
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什么是傅里叶分析（中）——一颗蓝心
皎洁青衣，无疑你是故事里的主角，
我不知道，你是否知道我在想你；
就像我不知道，你的心锁为谁留下了空缺，
我只好将绵延的留恋写在纸上，藏入心底。
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后来我经常会和阿紫在东湖的绿道上徜徉，阿紫喜欢将手背在身后歪着脑袋蹦蹦跳跳地倒退着走。阿紫告诉我她最喜欢的城市是厦门，她说第一次到那里的时候就被明媚清新的阳光和缱绻舒展的银海滩所吸引。她喜欢傍晚的时候踏着路边榕树的碎影，在环岛路上走走停停，或者去椰风寨买一个新鲜的椰子，又或者是去到曾厝垵点一份海鲜面。
阿紫说老了以后想去乡下，安静地待在一颗老树下自由自在地写字画画，那是她梦里希翼的景色，陌上花开，倦鸟迟归。每次阿紫走在前面抿着嘴说说笑笑的时候，我都会有种“娴静犹如花照水，行动好比风拂柳。眼前分明外来客，心底恰似旧时友”的感觉。
阿紫以后也想去剑桥三一学院的法律专业继续深造，她说这样就可以为亚非拉世界众多贫苦的人们免费提供各类法律援助。虽然这是一项伟大的事业，但我的心底却总是会产生一种深深的无力感。那个时候的我将自己包裹在果壳之中，躲在一个狭小的世界里沾沾自喜，因此当阿紫说出她的心愿的时候，我只觉得于我而言她仿佛只是一道白月光，可望却不可即。
我时常跟狗哥说我很痛苦，因为我觉得在阿紫面前什么都不是；明明这样一份美好就在眼前，可我却不配拥有。那个时候狗哥和那个俄罗斯女孩分开不久，所以狗哥又总是会反过来颓然地跟我说，其实最痛苦的不是无法拥有——人世间最痛苦的事，莫过于曾经拥有却不曾好好珍惜，等到失去时才追悔莫及。我只好默然。狗哥又说，当初你帮我出主意去参加校园歌手大赛，现在我只想说，我相信你自己也有办法的……
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一天下课后，我兴冲冲地告诉阿紫说要给她看个东西，阿紫歪着脑袋满脸狐疑。呐，就是这个。我说。
——噗，这是什么呀？
——这个函数很神奇诶，当它的表达式里a=1时，它的图像是上面这个样子。但是当a的值发生变化时，这个图像就会产生很有趣的变化。比如a=3和a=5的时候，它的图像分别是下面这个样子的……
——咦，我好像看出来一点什么啦。
——嗯啦，当a的值连续变化时就是下面这个样子啦……
——哇，好神奇嗷，居然还有这样的函数耶。
——嗯哪，其实像这样的函数看起来很复杂，不过我们可以用泰勒级数把它展开成很多个多项式相加的形式，当然也可以通过傅里叶分析的方法将它变换成很多个正弦函数（或余弦函数）线性相加的无穷级数，就是说可以变换成一系列简单、特征明显、易于分析的子函数相加的形式。
——怎么变换哦？
——这个图里的函数其实是一个非周期函数，由简入难的话，我们可以先看周期函数是怎么计算得到它的傅里叶级数的。
（1）把一个周期函数表示成三角级数
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的）。
如果有一个周期T=2π的函数f(x)，即f(x)=f(x+2π)，可以把它展成一系列三角函数加和的形式，此即为傅里叶级数，如下
（2）三角函数的正交性
三角函数的正交性是整个傅里叶级数推导或者进行傅里叶变换的核心，也是收音机（或者其他实际应用）原理中检波和滤波的数学基础。
现在有这样一个三角函数系的集合，包含的元素有{0，1，sinx，cosx，sin2x，cos2x，……，sinnx，cosnx}（其中0即为sin0x，1即为cos0x）。在其中任意取两个不同的项相乘并在一个周期内积分，则有
也就是说，两个函数正交的时候，其函数的内积等于0，反之亦然。在这里我们以上面第二式为例简单证明一下两个三角函数的正交性，即证明其内积为0。根据三角函数积化和差的性质有
因为n、k为互不相等的正整数，且cos2π=cos0=1，因此很容易知道上式结果即为0。同理可求得另外两式相乘的内积也等于0，即得证三角函数的正交性。
而当n=k时，
同理，当n=k时，
（3）求傅里叶级数的系数
如下是傅里叶级数的表达形式，其中包含三类系数a0、an、bn，可以借助三角函数的正交性来求解这三类系数。
为了求系数a0，在周期2π内，可以针对以上傅里叶级数两边同时积分，即
根据三角函数正交性可知上式右边第2、3项均为0，即
从而可得系数
接下来为了求系数an，在以上傅里叶级数两边乘以coskx，并在周期2π内积分，即
根据以上三角函数的正交性，当n≠k时，上式右边3项均为0；当n=k时，上式右边第1、3项均为0，第2项也只剩下n=k项，即
从而求得系数
同理在以上傅里叶级数两边同时乘以sinkx，并在周期2π内积分，可求得系数
根据以上推导，可以进一步将a0统一成如an、bn的形式。也就是说，对于一个周期T=2π的周期函数，其傅里叶级数的表达形式可以写成
其中
——嘻嘻，这样子看下来还是很简单的嘛，不过我有个问题哦，你这里推导的是周期为2π的周期函数的傅里叶级数，可是如果周期为其他值呢？
——周期为其他值，比如T=2L（L为任意数值）的函数其傅里叶级数也很容易求得哦。
（4）周期为2L的傅里叶级数展开
假设有一个周期T=2L的函数f(t)，即f(t)=f(t+2L)，我们可以利用换元的思想，令
显然，x与t之间存在如下对应关系
且有
因此g(x)转换成了周期T=2π的函数，根据以上结论，可直接写出函数g(x)的傅里叶级数的表达式为
其中
将以上表格相应内容代入上述g(x)的傅里叶级数表达式中，即有
以上就是周期T=2L的函数其傅里叶级数的表达式啦。而在我们的实际应用当中，一般引入一个角频率ω的概念，即
从而可以得到更为一般的周期为T的函数其傅里叶级数的表达形式，如下
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讲到这里，我不禁哑然失笑，我突然意识到自己只是为了给阿紫展示那个心型曲线，结果却自作聪明一路瞎扯了这么多奇奇怪怪的东西。我讪讪地对阿紫表示歉意，阿紫捂着嘴活泼地说，没关系呀，其实听你讲这些我觉得还蛮好玩的；顺便告诉你哦，今天是我十八岁生日，我觉得今晚的月色好美呀。
那一瞬间我有些恍惚，阿紫在月光下雀跃的样子不由得让我想起了《洛神赋》里神女的模样：体迅飞凫，飘忽若神。转眄流精，光润玉颜。含辞未吐，气若幽兰。髣髴兮若轻云之蔽月，飘飖兮若流风之回雪。
我跟上阿紫的步伐，有些赧然地说，我不知道今天是你生日诶，没有提前给你准备礼物哦，不过……诺，这是刚从路边摘的一朵栀子花，把它送给纯净而美丽的你，愿你往后的岁月充满喜悦与期待。也希望等你以后回想起来，不会觉得十八岁的今天只是平淡的一天。诶，对了，有一首诗在心里很久了，正好今天也送给你呀。我从背包里拿出纸笔，给阿紫写了一首拙劣的十四行诗：
-怎么能够只把你比作四月天，
-你远比它可爱也比它温婉；
-晚樱烂漫如你，充盈了我的双眼，
-东湖上的西子唷，目光及你时我是如此心安。
-皎洁青衣，无疑你是故事里的主角，
-我不知道，你是否知道我在想你；
-就像我不知道，你的心锁为谁留下了空缺，
-我只好将绵延的留恋写在纸上，藏入心底。
-紫女的心事啊，犹如一首迷人绚丽的诗，
-谱出幽怨的、动人的歌；
-琳琅华美的乐章，咏不完琴瑟相思，
-叹不尽悲欢离合。
-少女的征途，
-是星辰大海，而非人间烟尘。
初夏的月夜，晚风拂过，空气里弥漫着栀子花的香味，仿佛在阿紫周围氤氲出一个个温柔而又明亮的粉色气泡。阿紫双手紧捏低垂着头，静静站在那里，我似乎看到她的眼里泛着一丝泪光。我看着阿紫，反而有点不知所措起来，于是只得傻乎乎的开始没话找话。
我扮了个鬼脸，故作轻松地问阿紫，那次校园歌手大赛上没有吓到你吧？阿紫噗哧一笑：笨蛋，没有啦，其实从那届大赛的第一场比赛开始我就注意到你了……而且，我知道彩虹是怎么形成的哦。接着阿紫用粤语哼起了Beyond的《冷雨夜》：冷雨夜我在你身边，盼望你会知/冷雨夜我不想归家，怕望你背影/冷雨夜我在你身边，盼望你会知……
阿紫两腮通红，她眨着双眼，似乎在等待着什么。我的思绪再次停滞，就像那届大赛上第一次看见阿紫一样。一股暖流从我的心房逐渐蔓延、渗透，触及我身体里的每一个细胞。心猿意马的我仿佛笼罩在一种五颜六色的光彩之中，迷恋又眩晕。
哈哈，我就知道当时自己的表现是很棒的，我可是想了好久才想出那一招的。我略带骄傲地说。
嗷……阿紫眼神似乎有些黯淡，她沉默着往前走去。
第二天其实是我二十一岁生日，那一年我二十一岁，在我一生的黄金时代。我有好多奢望，我想爱，想吃，想奔跑，想见她，我还想变成天上忽明忽暗的云。那样的日子，我曾以为是过不完的，未来是会不一样的。
后来我逐渐明白，生活是个缓慢受锤的过程，可是我二十一岁时没有预见到这一点。我觉得自己会永远生猛下去，什么也锤不了我。——多年以后，我就待在自己的未来里，我没有发现自己有什么真正的变化。我的梦想还像小时候一样遥远，唯一不同的是我已经不打算实现它了。（以上两段致敬王小波）
多年以后，我才恍然大悟为什么在皎洁晴朗的月夜阿紫会哼起《冷雨夜》。多年以后，我才为自己的傲慢、愚蠢与怯弱痛心疾首。多年以后，我的思绪飘散在眼前那片栀子花的香气里，遥远的人儿，是否还曾记得那朵栀子花？
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什么是傅里叶分析（中）——傅里叶级数的复指数形式
大千世界就像一台皮影戏，傅里叶级数里那些叠加、旋转的圆，犹如戏台上幕布后无数永不停歇的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的齿轮。最外面的小齿轮上仿佛牵引着一根线，线的另一端就是我们，我们被牵引着往前走。
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傅里叶级数的图形
我们已经知道任意周期为T的函数，其傅里叶级数形式如下，即我们可以用一连串的正弦波（或余弦波）去表示任意周期函数。
比如有一个如下的方波信号或函数
其傅里叶级数可以表示为
于是便得到角频率ω为1、3、5……的正弦函数（实际上要完整表述该函数，还需要考虑其相位角，本文均按下不表），以频率为横坐标，幅值为纵坐标，此时便可将时域上的原方波信号转换成频域上的信号，如下
将该方波函数的原时域图像及其频域图像画在一个图中，如下，可以更加清晰的看到原函数是如何转换或分解为不同频率、不同振幅的正弦函数的。
类似的，如下周期性的锯齿波函数
其傅里叶级数可以表示为
该锯齿波函数及其傅里叶级数的图形如下，可以看到，随着傅里叶级数项数的增加，傅里叶级数的图形将会无限趋近于原函数。
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傅里叶级数的复指数形式
实际上，可以看出，在傅里叶级数中，既有正弦函数，也包含余弦函数，画频域图时也不方便，而通过欧拉公式，可以将傅里叶级数转换为复数形式。
根据欧拉公式
有
将以上两式代入傅里叶级数，可得
上式第三项中，令n=-m，则有
令
其中
将傅里叶级数的系数a0、an、bn代入到上式，可知n=0时
n>0
n<0时
因此，综合以上，可知周期为T的函数，其复指数形式的傅里叶级数展开式为
3
叠加！叠加！
从我们之前介绍过的欧拉公式可以知道，欧拉公式中eit实际上表示复数平面上沿着单位圆的旋转。
显然，正弦函数sin为该复数的虚数部分，而余弦函数cos为该复数的实数部分，如下图所示。结合图形可知，傅里叶级数中的正弦、余弦函数实际上也可以理解为一种“旋转”。
因此通俗地理解，可以把傅立叶级数视作圆周运动的组合，比如上面的方波函数，其傅里叶级数中正弦函数的叠加可以表示成如下形式。
实际上，任意函数都可以表示成不同正弦或余弦函数的叠加（以上都是针对周期函数的傅里叶分析，针对非周期函数的傅里叶变换将在后面介绍）。比如如下类似“心电图”的函数，可由11个正弦波叠加而来。
再比如从地球上观察到的火星运行的轨迹如下
该曲线也可以通过两个圆周运动来叠加模拟
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傅里叶级数的应用
前面对傅里叶级数的推导以及图形做了较多的展示，那将一个函数做傅里叶级数展开到底有什么用处呢？比如在我们之前提到收音机的检波功能，实际上就是在原函数信号的基础上乘以三角正交基函数，根据三角函数的正交性，提取出相应的正、余弦函数，并对这些函数展开相关分析或研究。
也可以借助傅里叶级数的方式对某些信号进行“滤波”，比如有一个函数（信号）通过傅里叶级数展开后函数形式为cosx+0.1cos10x+0.1cos100x，其图形如下
可以看出，由于函数中存在第2、3项，其频率较高，因此在图形中就存在“毛刺”，为了过滤或消除掉这些“毛刺”的影响，只考虑该函数的主要特征，可以首先对该函数积分得到函数sinx+0.01sin10x+0.001sin100x，该函数图形如下
从上图中可以看出，当原函数信号经过一次积分后，由于第2、3项高频信号的系数也即振幅被大大缩小，因此原信号中存在的“毛刺”几乎被过滤掉。如果进一步对上述函数积分，则可得-cosx-0.001cos10x-0.00001cos100x，其图形为
可以看到，由于积分的特性使得高频信号的振幅被进一步缩小，也就是说信号的“毛刺”被进一步抹平，最终就可以得到原始信号的最主体特征，这也是“低通滤波”的数学原理——通过积分的方式缩小高频信号的幅值，最终只留下低频信号。
不知道看到这里大家有没有感觉到，傅里叶分析中的滤波和检波实际上就是一个“过滤”和“挑选”的过程，我们每个人像是被挑选着来到这个世界，我们的一生都在被挑剔、被赋予使命。每一次考试，每一次插科打诨，每追一部剧，每逛一次街，每谈一次恋爱……，实际上都是我们在冥冥中决定了自己的幸福、欢喜与悲伤，犹如一次次傅里叶分析，我们被筛选到了截然不同的轨迹上。
世界就像一台皮影戏里的大幕布，傅里叶级数里那些叠加、旋转的圆，犹如戏台上幕布后无数永不停歇的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的齿轮。最外面的小齿轮上仿佛牵引着一根线，线的另一端就是我们，我们被牵引着往前走。我们的脚步会走出一条条曲线，会经历许许多多低谷与波峰，有时候我们发现眼前一片坦途，有时候又觉得杂乱无序。然而我们每个人都被牵引着走向同一个终点，而牵引我们往前走的东西，也许就是宿命罢。
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什么是傅里叶分析（下）——一个女人
我曾经跨过山和大海，也穿过人山人海，我曾经拥有着一切，转眼都飘散如烟，我曾经失落失望失掉所有方向，直到看见平凡才是唯一的答案。——《平凡之路》
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大学毕业后洋仔去了川渝一带，这家伙如同大学时一样，面对任何事情时都能以一种“承受所有赤裸的真相、平静地正视任何境况”的心态，所以他总是能体验到许多至上的美好。后来洋仔在重庆的一座山庄里开辟了一个大大的生猪养殖基地，借助人性的管理手段、科学的养殖方式以及最近几年爆发的市场行情，洋仔迅速积累了大量的财富。
于是闲暇时他总是会写写画画，不仅正在筹备一本据说主题是非主流葬爱风格的小说的出版，而且也习得了一手细腻的油画绘画手艺。当他将最近的作品发给我康康时，老实说，我想成为他啦
狗哥则坚决拒绝了家里人要他回家继承家业的夙愿，大学毕业后如愿保送去了清华大学攻读黑洞与高能天体物理专业的博士学位。我想对于向往自由与远方的狗哥来说，没有什么比探索宇宙更值得全情投入的了。
有一次我问狗哥，研究天体物理的话，明明可以去美国，可是为什么要选择待在北京呢。
狗哥告诉我说，二十几年来他一直在和父母作抗争，读大学时也在拼命远离自己的家族。可每当他凝望广袤的星空时，他总能变得异常宁静，他意识到距离上的逃避从来都无法让自己真正解脱。而且，当他有一次突然发现父母的白发越来越多时，他的心里已经有了答案。
狗哥临去北京时，送了一套刘慈欣的《三体》给我，在扉页上他用小楷工整地写了一段话：宇宙其实是一个很抽象的东西，一边连着无限久的过去，另一边也连着无穷远的未来，我们只是一些可以忽略不计的尘埃。可即便如此，我仍然想竭尽全力去探寻宇宙的真谛，即使需要燃尽我的生命。——三十年后，我要成为中国科学院院士，而你，我希望会出现在中国工程院的院士名录里。
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从傅里叶级数到傅里叶变换
狗哥的话让我落寞又感伤，对于资质平平的自己来说，也许在追逐的路上便已枯竭了生命。
只是狗哥的话又启迪了我，解开了我一直以来的一个疑问——当一个函数为非周期函数时，可以等效认为该函数在无穷远处重复出现，即可认为它是一个周期趋向于无穷大（T→∞）的周期函数，于是便可以轻易获得这个非周期函数的傅里叶变换形式了。
之前我们已经获得了如下形式的傅里叶级数，所有周期函数其标蓝部分都是一样的，不同的是标红的系数部分。也就是说，不同的系数Cn（=a+bi的复数形式）定义和决定了不同的函数。
以上是周期函数的傅里叶级数展开，当一个函数为非周期函数时，可以等效认为该函数在无穷远处重复出现，即其周期T→∞。
令
其中ω为周期T的倒数乘以2π，为频率的概念，称之为基频率。
于是便有
当T→∞时，有
将以上三式代入傅里叶级数，则有
于是可得非周期函数的傅里叶变换为
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阿紫从剑桥三一学院毕业后去了巴黎联合国教科文组织的总部实习，虽然与她的初衷要为亚非拉地区的人们提供法律援助有所出入，但当她看到同样可以为这些国家的孩子制定长期有效的教育发展计划并落地执行时，她收获了无限的安宁。
有一次我问阿紫实习结束后是否会回国内时，阿紫只是说，每当她踏上津巴布韦和利比里亚那些国家的土地时，她似乎都可以感觉到自己的脉搏在随着那里的热浪起伏。那里的土地古老、沧桑却又刻满了伤痕。生活在那片土地上的人们，承受了太多的苦难，他们被命运捉弄，被历史遗弃，直到现在他们只剩下无力与绝望。每当她看到那些黝黑枯瘦的孩子用苍白、渴望、充满好奇的眼神看着她们这些异样的外来客时，她明白了自己的归宿以及存在的价值。
Ins上阿紫分享的与孩子们嬉闹的照片中，除了他们的欢声笑语，分明也能看到阿紫脸上的憔悴与那该死的鱼尾纹。阿紫的抉择虽然是坚定的，我想她也是疲惫而孤独的。
狗哥曾经说过，冥王星Pluto离太阳很遥远，几乎没有阳光能穿越59亿公里的距离找到它。但它的卫星卡戎Charon，却一直陪着冥王星走着这一段冷清却又炽烈的旅程。——祝愿每一个孤独的Pluto，都会有一个坚定的Charon相随。
所以故事的开始总是这样，适逢其会，猝不及防；而故事的结局也注定是，花开两朵，天各一方。
有人说，我们一生中会遇到8263563人，会和其中的39778人打招呼，会和3619人相识，会和275人相近，但最终我们都会消散在人海中。我们就像是一朵朵被风裹挟着的花，飘曳在花海里随机和另一朵相遇、纠缠，却无法捆绑在一起。
当花瓣飘落地平线的时候，我们终将离去，再漫长的欢聚也有尽头，世上从来不曾有不散的温柔。很久以后，我终于明白，失去比拥有更珍贵，对一个人最永恒的思念是忘却。
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大兵哥毕业后去了华东地区，辗转了好几个地方之后在上海五角场一带开了一家主营东南亚水果的小店。三年前一次我去那里溜达问他生意如何时，这家伙贱兮兮的指了指旁边一个富丽堂皇的大厅说，那其实是个风月场，每天凌晨我们这里的水果生意都很好，我去上面送过几次货，里面可真香啊。说完一脸涎笑的给我剥了两个龙功果。
在那之后我们的联系便逐渐少了起来，我们都在为自己的未来而忙碌奔波。后来的一天凌晨，睡梦中的我接到了大兵哥的电话，我听出大兵哥深沉的嗓音中略带疲惫。
——你记得当时我们在学校的一次争论吗？我说女人只是文明的附属品，愿意供养妻子的男人都是傻瓜。大兵哥一开口就问我。——嗯，怎么了兄弟？——我也是一个彻头彻尾的大傻子，我遇到了这样一个女人，想竭尽全力去给她幸福，但我却还无法做到……说完大兵哥开始轻声啜泣起来。——要我做点什么吗？在我眼里，你可是能干翻这个世界的男人啊，哭个屁。——你陪我聊聊就好……大兵哥说。
接下来我从大兵哥的讲述里了解到他在当年那个水果店旁的风月场里认识了那个他愿意为其付出生命的女人。大兵哥说她单纯又性感，他喜欢她叽叽喳喳在他旁边摆弄这个摆弄那个的样子。有一次为了她还和场所里的几个买春客打过架斗过殴，为此左腿受伤骨折很久之后还没有完全恢复。他想带她离开上海，可是做生意时资金链又出现问题，个人账户也被法院强制冻结，后来又试着去送过外卖，摆过地摊……
——嗐，不说这些。大兵哥又说，你应该还记得我们以前一起学过的傅里叶分析吧？——很惭愧，忘得差不多了……——在她陪我养伤的那段时间，我琢磨出了傅里叶分析的一个妙处，我发现可以用傅里叶级数展开的方式把她的样子画出来。诺，给你看看，这是1500个圆周运动叠加在一起把她画出来的样子……
——我靠，这也太美啦！我说。——哈哈哈，技术有限，现在只能画成这个样子咯。——讲真，她值得你这样吗？我问大兵哥。——当然，人间自是有情痴，此恨无关风与月。大兵哥斩钉截铁地说，不过，你是不是也会觉得我很没出息……——怎么可能会！——为什么不呢……——因为你是我兄弟。
我的心里很感慨，当年厮混在一起的我们，如今已走上完全不同的人生轨迹。有的人已千里赴约飞跃雪山之巅，摭拾与品味着人间更高维度的烟火；有的人却慌慌张张不过图碎银几两，可偏偏这碎银几两啊，能解其万千慌张。也许每个人傅里叶级数里的圆，有多有少，有大有小，演化出来的那条线，牵引我们奔向前方，虽是殊途，却终究也会是同一个终点。
挂断电话后不久，大兵哥给我发了一条消息：趁着年轻生猛，我要再和生活死磕几年，要么铸就辉煌，要么我就毁灭，如果哪天我向平庸低了头，请向我开炮。
我安然入睡。
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-全文完-
【Reference】
[1]徐科军.信号分析与处理
[2]同济大学数学系.高等数学·下册（第7版）
[3]杨小远.工科数学分析教程
[4]https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/514107420
[5]https://www.zhihu.com/question/19714540/answer/1119070975
[6]https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
[7]https://www.matongxue.com/madocs/619.html
[8]https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v/?spm_id_from=333.788.b_7265636f5f6c697374.2
[9]https://www.bilibili.com/video/BV1A4411Y7vj/?spm_id_from=333.788.videocard.4
[10]https://www.sohu.com/a/344346755_465219
[11]https://www.bilibili.com/video/BV1Gs411372c/?spm_id_from=333.788.videocard.5
[12]https://www.bilibili.com/video/av63539135/?spm_id_from=333.788.b_636f6d6d656e74.35
[13]https://observablehq.com/@mbostock/fourier-series-zoom
后记：很久之前就计划要写一下傅里叶分析相关的话题，但囿于水平有限，迟迟不敢动笔。在查阅资料时偶然发现【陈二喜】对什么是傅里叶级数/傅里叶变换有过很好的回答与解释（可直接点击上面参考资料里的第[4]条跳转查看），可惜他的回答并没有更新完毕。可以说，【陈二喜】的回答直接催生了本系列文章，其中某些素材也直接取自于他的文章，在此向【陈二喜】及其他参考资料的作者表示感谢。
然而即便参考了众多作者的资料，在自己写这个系列时仍然深感力有不逮，时刻觉得这特么写的是什么狗屎，那又讲的是个什么玩意——不管怎样，写到这里，也算是给这个系列做了一个完结。
在系列文章的上篇里，主要通过四个栗子讲述了傅里叶级数/傅里叶变换在实际生活中的应用——它们分别是对目标对象的挑选、收音机里的滤波、对音乐的分析以及彩虹的形成原理。
中篇里描述了通过什么样的数学方法可以推导获得周期函数的傅里叶级数。同时讨论了周期函数通过傅里叶级数展开后所获得的图形样式。通过引进欧拉公式，可以将傅里叶分析转换到复数平面上，并由此认为傅里叶级数可以通俗地理解为是若干或无穷个圆周运动的叠加。
下篇里通过引进周期T→∞的概念，从而将非周期函数等效认为是周期函数，由此可推导得出非周期函数的傅里叶变换式。借助傅里叶分析的方法我们可以画出形形色色的图形，比如一只猫、一个人、一张中国地图等等不一而足，具体可以点击第[11]、[12]、[13]条参考资料里的链接跳转查看。
实际上，傅里叶分析的内容博大精深，本系列文章的讨论仅仅也只涉及到一些皮毛，其他诸如傅里叶级数的存在条件、傅里叶级数的相位特性、快速傅里叶变换、离散时间的傅里叶变换、由傅里叶变换到Z变换/拉普拉斯变换等等均未涉及。如果有同学看到了这里，并对这些仍然感兴趣的话，可以查阅更多、更专业的资料。
学习从来都不是一件简单轻松的事情，如若有幸，愿与诸位共同学习，共同进步。
以上。
