韩国首都的中文名「首尔/首爾」由韩国提出，那么在韩国有无将「首爾」用作「서울」的汉字表记的情况？
先说结论：
古时没有，当代罕见，且用了也不符惯例。
如果出现，基本都是在车站导视、街道路牌等情况，目的是方便游客寻路，而善意地模糊掉“翻译”与“汉字词表记”之间的界限。
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以下是较为详细的回答：
由于韩语深受汉字词影响，每个汉字都有它对应的韩语汉字音。千百年来中原王朝的影响 + 被殖民时日本和制汉字词的强势进入，使得汉字词事实上融为现代韩语的组成部分。在半岛语境下，“汉字词/汉文”与“中文/现代汉语（尤其是简体字写法）”虽然同根同源，偶尔令普通人混淆，但是二者并不一样，前者是古汉语的域外遗存或变体，后者是汉语的最新演化后继。
接下来，将先讨论韩语中汉字词的独特地位（即是否被视作本语言的词汇），再拉回原提问，从翻译/训读/音读的角度做出分析和解答。
【Ⅰ】汉字词的地位
一、背景
通古斯/蒙古/突厥/日韩 等北亚粘着诸语，古时皆有不以 流音/边音/闪音 作为单词或句子开头的语言特征，遇到其他语言有时候会特殊处理，如蒙古语惯称“罗斯”为“俄罗斯”。
二、半岛两边的情况
北朝鲜：把汉字词当作特殊的外来语，虽然汉字作为语素已经强烈地影响了构词法，但汉字词依然不被真正当作“纯洁的本民族词汇”，所以反而愿意循古“名从主人”，忠实地保留了汉字词词首的 ㄴ 和 ㄹ。
韩国：认为汉字词也属韩语词汇，不同于西方传来的那些外来语词汇。所以和固有词一样，都适用于光复立国后整理制定的“头音法则”。所以在半岛南边，汉字词词首的 ㄴ 和 ㄹ 全都被置换或脱落了，也就导致相应汉字词失去了本来的面目。
【Ⅱ】翻译与音训读
一、常见处理方式
与日语的情况不同，一般情况下正式行文不会大量训读汉字。现在韩国的习惯是不把固有词表记为汉字，绝大多数汉字都依惯例采用音读对转，而固有词会表记作韩式拉丁字母拼音写法（文观部式），所以最常见的情况是 서울 的汉文名（注意不是中文翻译名）记作 Seoul （서 为 Seo，울 为 Ul）。比如 서울시청 记作 Seoul市廳，而非记作 首爾市廳 。
所以，서울 → 首尔/首爾 ，是翻译（音译）后的结果，无非是选字巧妙讲究一些，不能理解为 서 对应 首 、 울 对应 爾 。倘若把 서울 对应 首爾 ，那就成为变相的汉字训读了，这和翻译不是一回事，所以类似做法正式场合较为罕见。
二、汉字词的音训读
1. 如果音读对转 서 与 울 的话，那么可得
서 是《东国正韵》中的 戍母 字，落在全清齿音的格子里，现代音对应 瑞 、 徐 、 書 、西 等字；
울 是《东国正韵》中的 挹母 字，落在全清喉音的格子里，现代音对应 鬱、 郁、 尉 等字。
相应地，若音读对转 首 与 爾，可得
首 作 수 （拉丁字母拼音：Su ，不是 Seo 更不是 Seou ）；
爾 作 이（拉丁字母拼音：I ） 。
别的回答中有人提到 서울 的语源可能是汉字词 首邑 （现代韩语表记为 수읍，拉丁字母拼音 Su + Eup），略显牵强。西汉初年，中古的《广韵》音系还未形成，试举3例不同语言学家对先秦两汉时期 首 字的拟音：① 郑张尚芳/潘悟云系统：hljuʔ 或 hljus ；② 李方桂系统：hrjəgwx；③ 王力系统：ɕǐu 。可知与韩语发音间的明显差别是如何演变的，脉络还不清楚，更不能从普通话 Shǒu 来反着推导。
但学界确有此说，若是能够厘清，此说也不是没有可能性。如在中世韩语时期（大致相当于中古汉语中后期），专门用在这个词语中白读的 邑 字的韵尾先参与合并，即闭口 p → 塞音 t ，再混入其他入声闭音节可能早就已经完成由 t → l 的转变的字群（韩语中的t尾字很早就开始被置换为l尾），于是接下来就同文读演变的 邑 字脱钩，以致后来大家不再轻易辨别得清。不过目前此说还只能算是郑张尚芳等学者的推测。
从现代韩语来看， 수이（首爾，Sui） 、 수읍 （首邑，Sueup）和 서울 （Seoul）三者当然各是各的，不可混同。
2. 当今中韩两国交流往来密切，需要翻译的场合有很多，并非人人都了解相关知识，弄不清韩语汉字词和现代汉语到底怎么回事的人很多。
那么，今天韩语中还在哪些场合会用到汉字训读呢？
2.1 日常/常识
民间为了方便，偶尔有把 물 读写作水、 술 读写作 酒 等情况，但都不正式，正式场合还是会采用 水 对 수 、 酒 对 주 。
2.2 名字（尤其是女名）
名字通常又分3种情况：
2.2.1 最常见的是强行对转汉字，如为筷子兄弟《小苹果》MV伴舞的 배슬기 ，汉字名采用音读 裵瑟琪，而非训读 裵慧 。再如普通人常见的 가을 不训为 秋 而是音读对转为 珂乙 、 보라 不训为 紫 而是音读对转为 寶拉。
2.2.2 为了保留名字原语义，采用训读，比如《鱿鱼游戏》里的 강새벽 被训为 姜曉，没有用音读字比如“姜璽碧”。再如足球明星 윤빛가람 ，名字中含有已经不太使用的古语 가람 ，意为 河川 ，因此他的名字被训作 尹光河 。
2.2.3 最后一种情况，是基督教家庭等为孩子起名时，采用纯外来语的名字，比如韩国娱乐圈有 박솔로몬，即 朴所罗门。这种情况，就不是汉字文化圈内部的名字对转了，属于翻译（音译）。
2.3 音变了的汉字词，也是一种特殊的训读。半岛至晚在公元3世纪就开始被中原文化大规模影响，时间太久，影响又深，部分词汇就产生了音变，其中一部分较为明确可考，比如意为 狩猎 的 사냥 ，源自汉字词 山行，即 산행 ；再如，意为 调味酱料 的 양념 源自汉字词 藥念 ，即 약념；还有一部分，词源是否为汉字词存在争议，比如意为 马 的 말，词源有可能是汉字词 馬 ，即 마 。
2.4 约定俗成的特殊表记。比如 串 字，历来要表记为 곶 。관/찬 这些源自汉语的本音反而用得极少。
2.5 韩国政府强制要求的表记。如 한의 必须表记为 韓醫 ，禁止表记为 漢醫 ，尤其是店铺招牌和学术论文，而“中医”这个意思，要表述成 동양의학 即 東洋醫學；한복 同理，必须表记为 韓服 而非 漢服 ，“汉服”这个意思，要使用源自普通话的音译词 한푸 。
综上所述：
1. 不论 서울 的语源为何，今天在现代韩语中被当做一个固有词，这个固有词被韩国方面选定的现代汉语翻译名是 首尔/首爾 ，大中华地区亦愿意“名从主人”，采用此翻译。
2. 现代中韩翻译与韩语汉字词的韩文对转/表记并非同一回事。“首”字与“尔/爾”字各有另外的韩文对应，即 수 和 이 。一般来讲，韩语正式行文中，对于汉字词采音而不采训，所以若硬要把 서울 表记为汉字也许可作 “瑞郁”。
3. 据此，严谨的情况下不用音译名称 首爾 作为 서울 的汉文表记，而是使用拉丁字母，记作 Seoul 。如 국립서울대학교 → 國立Seoul大學校 （有条件的朋友可以看看首尔大校服上的写法就明白了）。
