复变函数-复数的球面表示

过复平面原点做一球面与复平面相切，切点为该球面的南极点，北极点标记为 NN （过原点的直径交球面于 NN ）。对任意在复平面的一点 zz ，连该点与北极点交球面于 ζζ 。

显然 zz 点与 ζζ 点一一对应。 ζζ 点即为复数的球面表示—— Riemann 球面。

复平面上模为无穷大的点是一个点，对应于复数球面的北极点。

以复平面原点 OO 为原点，给 Riemann 球面建立 Descartes 坐标系，球面方程为x′2+y′2+z′2=1x^2+y^2+z^2=1 .

北极点即为 (0,0,1)(0,0,1) .

不难推出复平面上的点 z=(x,y)z=(x,y) 与 复球面上的点 Z=(x′,y′,z′)Z=(x,y,z) 之间的关系：

x′=2xx2+y2+1,y′=2yx2+y2+1,z′=x2+y2−1x2+y2+1x=\dfrac{2x}{x^2+y^2+1},\ y=\dfrac{2y}{x^2+y^2+1},\ z=\dfrac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}

【变形一下，还可以得出 x′=z+z∗|z|2+1,y′=z−z∗|z|2+1,z′=|z|2−1|z|2+1x=\dfrac{z+z^*}{|z|^2+1},\ y=\dfrac{z-z^*}{|z|^2+1},\ z=\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1} 】

【反过来推导： z=x′+iy′1−z′z=\dfrac{x+iy}{1-z} 】

引入复球面可以帮助形象地理解 扩充复平面 C¯=C∪{∞}\overline{\mathbb C}=\mathbb C\cup\left\{\infty\right\} 。因为无穷远点在复积分中常常被看做一个点，在复球面中也以北极点一个点来表示。

关于无穷远点 ∞∞ 还可以继续作出一些运算的规定：

1. 当 α≠∞α\ne \infty 时，α±∞=∞±α=∞α\pm\infty =\infty \pm α=\infty ， α∞=0,∞α=∞\dfrac{α}{\infty}=0,\quad \dfrac{\infty}{α}=\infty .

2. 当 α≠0α\ne 0 时， α⋅∞=∞⋅α=∞α\cdot\infty =\infty\cdot α=\infty .

3. ∞−1=0\infty^{-1}=0 .

4. 运算 ∞±∞,0⋅∞,∞∞\infty\pm\infty,~0\cdot\infty,~\dfrac{\infty}{\infty} 无意义。

5. ∞\infty 的实部、虚部、辐角无意义，模长极大。

在扩充复平面上， ∞\infty 为内点；无穷远点的邻域 N(∞)N(\infty) 可以看做以原点为心的某圆周的外部。从而，一个圆周的外部就是一个单连通区域， ∞\infty 是这个区域的内点。

对于一个无界序列，如果在有限远处无聚点，那么 ∞\infty 就是它的唯一聚点。

包含无穷远点的扩充复平面将在之后的复变积分中广泛用到。